开篇故事：三角形的三边关系定理刘勋玉(1896 ~ 1967)是现代数学家和数学教育家。建国后，任人民教育出版社副总编，负责审定全国中小学数学教材，并亲自参与编写。也是著名的科普作家，代表作品有《马先生谈算学》《原来数学这样有趣》0101《数学的园地》等。

他在《原来数学这样有趣》这本书里讲过三角形三边关系定理。他是这样说的：

几何学中有三个定理：

(a)一个直角三角形，其斜边的平方等于其两条边的平方和。

(2)一个钝角三角形，钝角一边的平方等于它两边的平方之和，加上这两边之一和另一边在其上投影的乘积的两倍。

(3)锐角三角形，锐角一条边的平方等于其两条边的平方之和，减去这两条边之一和另一条边在其上投影的乘积的两倍。

光说这些可能不太清楚，但是我们会用图表和公式来表示。

图1

《原来数学这样有趣》图书摘录1

图二

《原来数学这样有趣》图书节选2

在这一点上，毕达哥拉斯定理是非常普遍和简单的。好记，用起来简单，按照它前进自然容易很多。

这本书是科普作家刘勋玉在1933年写的。现在的数学书与以前的相比有了很大的变化。

数学世界的规则1

数学世界的规则2

现在数学书是这样写的：

【三角形三边关系定理】三角形两边之和大于第三边。

【三角形三边关系定理的推论】三角形的两条边之差小于第三条边。

刘勋玉书中的三角形三边关系定理，其实就是余弦定理。书上的三个定理虽然没有余弦，但实际上相当于余弦定理。

请看基本图：

画

基本图形

基本图揭示了勾股定理和余弦定理的几何意义。

基础图(1)告诉我们，由于直角三角形Q(投影)=0，勾股定理是余弦定理的特例，只有两项，没有第三项，即大正方形(C)=中正方形(A)和小正方形(B)。

基础图(2)告诉我们，因为钝角三角形Q(投影)0为正，所以第三项为正，即大正方形(c)=中正方形(a)和小正方形(b)是两个矩形(2aq)。

基础图(3)告诉我们，因为锐角三角形Q(投影)0为负，所以第三项为负，即square (c)=square (a) square (b ) -两个矩形(2aq)。

图中不涉及角度和余弦，相当于余弦定理的初等或通俗版。中学生要到高中才会接触到余弦定理。令人惊讶的是，古希腊的《几何原本》不仅有勾股定理，还证明了余弦定理的几何形式。当然，代数的发展经历了三个阶段。虽然古希腊数学家对余弦定理进行了讨论和证明，但由于时代的局限，现代数学教科书中不可能给出公式。

基本图的相关性计算

在基本图形(2)钝角三角形中，

a=CB=2.5

b=AC=3.35410197

c=AB=5

q=1.5

c=a b 2aq

=11.2500000251 6.25 7.5

=25.0000000251

在基本图形(3)锐角三角形中，

a=CB=3.8

b=AC=3.5

c=AB=2.5

h=AD=2.23980608

q=CD=2.68947369

c=a b 2aq

=14.44 12.25-20.440000044

=6.249999956

为什么基本图形等价于余弦定理？我们从余弦开始。

在直角三角形中，锐角的余弦定义为邻边与斜边之比。

余弦一词指的是余角，弦指的是正弦，也就是余角的正弦。

在直角三角形中，C是直角，A和B是锐角，它们是互为余角。所以有：

cosA=sin(90 -A)=sinB

欧拉把三角函数的定义从锐角扩展到任意角，从第一象限扩展到四象限。我们来看看单位圆上余弦函数的定义。

在笛卡儿平面直角坐标系中，角的一边在X轴上，角的顶点在原点O，另一边叫动臂，可以正转(逆时针)，跑遍四个象限。

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横坐标是交点b的横坐标，不同的象限有不同的符号，但半径总是正的。

因此，余弦函数在第一和第四象限为正，在第二和第三象限为负。

现在来说说余弦定理。

【余弦定理】在平面三角形中，一条边的平方等于其他两条边的平方和减去这两条边跟这两边夹角的余弦之积的两倍。

c=a+b2abcosC

当两条边及其夹角已知时，余弦定理可用于

勾股定理

余弦定理

基本图是没有余弦的小学版余弦定理，那么高中版余弦定理该怎么画图呢？

只需要修改第三项的图形，把两个长方形(2aq)改成两个平行四边形(2abcosC)。平行四边形的一组对边是a，另一组对边是b。当平行四边形是直角时，就成为长方形，面积等于底(a)乘以高(b)，平行四边形边长不变时可以改变角度，在底不变的情况下，降低高度，压缩面积。当这两个平行四边形的底是a，高是q的时候，面积=2aq=2abcosC。这就是余弦定理的几何意义。

再看基本图，在△ABC中，由cosC的定义可知，q=DC=bcosC，所以有

c²=a²+b²－2aq

=a²+b²－2abcosC

C是锐角，第一象限cosC为正，上面的公式右边第三项为负；

C是钝角，第二象限cosC为负，上面的公式右边第三项为正(负负得正)。

C为锐角⇔c²

C为直角⇔c²=a²+b²

C为钝角⇔c²>a²+b²

余弦定理有3个公式，我们只写了一个，该怎么得到全部公式呢？

用循环置换法。即三条边循环置换，a用b代替，b用c代替，c用a代替；角同样有A→B→C→A，就能够得到全部三个公式。

在操作过程中，你感受到了余弦定理对称循环的形式美了吗？

好有一比，就比如一个精美的圆瓷盘，有五个字对称均匀排列成圆形：可以清心也，你说该怎么读？

①可以清心也。

②也可以清心。

③清心也可以。

就像余弦定理的三条公式一样，三种读法都可以。

小结：余弦定理是勾股定理的推广，比后者更一般更普遍更深刻，但是它的发现与证明好像与国人无关，这点值得我们反思。