让我们把目光投向 19 世纪，当时的数学家们已开始感到愈发不安，原因在于觉察到数学大厦的地基上竟然存在逻辑漏洞和自相矛盾，这让他们对数学基础的可靠性产生了动摇。

比如，欧几里得几何的公理系统，几百年来一直被奉为公理化方法的经典范例，结果却被发现是不完备的——不够严密，它暗含了许多未被明确列出的前提（例如“介于两点之间”的概念就未被公理化，而是依赖直观）。

而在分析学领域，随着魏尔斯特拉斯（Weierstrass）发现了那个著名的 “处处连续但处处不可导” 的病态函数（Pathological function），数学界受到极大震动：人们终于察觉，此前严重依赖几何直观来定义函数以及随意使用无穷小量的做法，根本经不起严谨推敲。

康托尔（Cantor）关于无穷集合的开创性研究，同样引发了激烈的学术争议。利奥波德・克罗内克（Leopold Kronecker）留下了那句广为流传的名言：“上帝创造了整数，其余皆为人为。” 他主张数学研究应严格局限于有限、具体对象的范畴，这无疑是对康托尔无穷理论的尖锐反对。尽管这种思想在 20 世纪被构造主义者（Constructivists）所继承，但在当时，它并未被主流数学界采纳。大卫・希尔伯特（David Hilbert）就坚定地捍卫无穷理论，他宣称：“没人能把我们从康托尔创造的伊甸园中赶出去。”

为了修补地基，数学家们着手构建能将大部分数学分支（如算术、分析、几何）形式化（formalize）的公理体系。这样做不仅是为了消除术语定义的模糊性，更寄希望于通过公理化来证明数学系统的自洽性（consistency，即系统内部绝不会推导出自相矛盾的结论）。

在 19 世纪，证明一套公理自洽的主要办法是为它找一个“模型”。例如，非欧几何之所以被认为是自洽的，是因为我们可以构建一个球面模型：把点定义为球面上的点，把线定义为大圆。这个模型满足除平行公理外的所有平面几何公理，从而间接证实了非欧几何不包含逻辑矛盾。

图上的两个圆就是大圆。(图自维基)

随着形式逻辑的演进，希尔伯特萌生了一个更具野心的设想：相较于 19 世纪依赖外部模型的方法，我们能否仅通过分析系统内部的所有证明结构，来直接证明该系统的自洽性？这催生了证明论（Proof theory）。希尔伯特强调，这种分析手段必须遵循有穷性（finitary）原则 —— 即推理过程只能涉及有限个具体对象和有限个步骤，尽管他当时并未对这一原则给出精确界定。这就是著名的希尔伯特纲领。

然而，这个宏伟计划遭到了哥德尔不完备性定理（Gödel's incompleteness theorems）的毁灭性打击。哥德尔证明了：任何包含初等算术的足够强的形式理论，其自洽性都无法用该理论内部可形式化的手段来证明。不过，转机并未完全消失。根岑（Gentzen）后来证明，只要在遵循有穷性原则的系统中，引入超限归纳法（Transfinite induction，一种将数学归纳法推广到良序无穷集合上的方法）作为公理，就可以完成算术自洽性的证明。他为此开创的技术，后来成为了现代证明论的基石。

数学基础史的另一条并行主线，则是围绕非经典逻辑和构造性数学展开的。构造性数学包含许多流派，对于“什么是构造性”也有着不同维度的定义。

在较为宽松的流派看来，只要在策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）的证明中不使用选择公理（Axiom of Choice，即允许从任意多个非空集合中各选一个元素的公理），就可归为构造性范畴。

而在更严格的构造主义流派看来，研究对象必须限制在自然数、数论函数和自然数集（用来表示实数，进而研究数学分析）的范围内。这些流派有一个核心共识：只有当我们掌握了计算函数值的具体方法时，才能宣称这个函数是存在的。

20 世纪初，鲁伊兹・布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer）创立了直觉主义（Intuitionism），并将其上升到数学哲学的高度。这套哲学起初显得晦涩难懂，它主张：对于数学家而言，所谓真理，必须是能够通过心智构造来感知的——你不仅要相信它是真的，还必须通过有限步骤的构造过程明白它为什么真。这种对真理的严苛定义，让直觉主义者拒绝接受排中律（Law of excluded middle，即“一个命题要么为真，要么为假，不存在第三种可能” 的逻辑法则）。因为在布劳威尔看来，对于某些涉及无穷的数学陈述，如果我们既无法构造出它是真的证据，也无法构造出它是假的证据，就不能断言 “它非真即假”。

布劳威尔的哲学影响深远，但也引发了他与著名数学家（如希尔伯特）之间激烈的学术论战。后来，克莱尼（Kleene）和克雷塞尔（Kreisel）成功将直觉主义逻辑形式化 —— 有趣的是，布劳威尔本人终生排斥形式化，他的所有著作均以自然语言撰写。随着 BHK 释义（直觉主义逻辑的语义判定标准）和克里普克模型（Kripke models，一种解读直觉主义逻辑的数学结构）的出现，直觉主义终于变得更易于理解，也能更好地与经典数学相调和了。

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原文：en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_logic#Foundations_of_mathematics

翻译：【遇见数学】译制，并补充部分内容/图片