本文的主要内容如下：介绍了弧的弦长A=5m，拱高H=1m。

第一步，解析弧长表达式

R 2=(r-b) 2 (a/2) 2:

R=(a 24 * b 2)/8b，设弧长为L，由公式得到：

L=2R=(a^2 4*b^2)/4b.

sin=(A/2)/R=4ab/(a^2 4*b^2)

=arcsin[4ab/(a^2 4*b^2)].

弧长计算表达式为：

L=(a^2+4*b^2)/4b*arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)].

第二步，泰勒展开计算结果

(Arcsinx)=(1-x ^ 2)(-1/2)，则(arcsin 0)=1；

(arcsinx)=-(1/2)*(1-x^2)^(-3/2)*(-2x)=x(1-x^2)^(-3/2)；

(arcsinx)=(1-x^2)^(-3/2)x[(1-x^2)^(-3/2)]；

那么：(Arcsin0)=0，(Arcsin0)=1。

Arcsinxx 0 (1/3！)x 3=x x 3/6=x (x 26)/6。这时，

arcsin[4ab/(a^2 4*b^2)]

4ab[8a^2b^2 3(a^2 4b^2)^2]/[3(a^2 4b^2)^3].

代入弧长计算表达式：

la[8a^2b^2 3(a^2 4b^2)^2]/[3(a^2 4*b^2)^2]

即：

La+[(8/3)a(ab)^2/(a^2+4*b^2)^2]。

代入数值计算，我们得到：

L5 [(8/3)*5*5^2/(5^2 4*1^2)^2]

L5.4 .

2.泰勒变形公式展开计算

*=(1-x^2)^(-1/2 arcsinx公司)

1名(-1/2)*(-x^2)(-1/2)*(-3/2)*(-x^2)^2

1 (1/2)x^2 (3/4)x^4

arcsinx=(1-x^2)^(-1/2)dx

x (1/6) x 3 (3/20) x 5。对于这个问题：

arcsin[4ab/(a^2 4*b^2)][4ab/(a^2 4*b^2)]

(1/6)[4ab/(a^2 4*b^2)]^3(3/20)[4ab/(a^2 4*b^2)]^5.

arcsin[4ab/(a^2 4*b^2)]

4ab*{15(a^2 4b^2)^4 40[(ab(a^ 4b^2)]^2

576(ab)^4}/[15(a^2 4b^2)^5]。代入弧长表达式：

la*{15(a^2 4b^2)^4 40[(ab(a^ 4b^2)]^2

576(ab)^4}/[15(a^2 4b^2)^4]。即：

a+8a*(ab)^2[5(a^2+4b^2)^2+72(ab)^2]/[15(a^2+4b^2)^4].

代入数值计算，我们得到：L。

5 40*5^2[5(5^2 4*1^2)^2 72*5^2]/[15*(5^2 4*1^2)^4],

也就是：L5.57。

从010到1010可以看出，两种计算方法都是增量弦长计算方法，都有一定的误差。