脸上痘痘又硬又疼可能是由以下原因引起的：痤疮、皮脂腺炎、药物过敏，详情如下：

1.痤疮：痤疮是一种常见的皮肤病，通常出现在青春期，但也有成年人发病的可能。痤疮的形成是由于皮脂腺分泌过多油脂，导致毛孔阻塞，细菌繁殖引发炎症，进而形成痘痘。硬疼的痘痘可能是痤疮中的结节型痘痘，由于炎症反应较强，导致疼痛感明显。

2.皮脂腺炎：皮脂腺炎是皮脂腺的炎症，通常是由于细菌感染引起。皮脂腺炎的症状和痤疮类似，但是不同之处在于皮脂腺炎的痘痘比较局限，通常只在某个部位出现。同时，皮脂腺炎的痘痘也可能因为细菌感染引起局部的疼痛和硬化。

3.药物过敏：某些药物（如角化酸类药物、抗生素等）可能会引起皮肤过敏反应，导致痘痘、红肿、疼痛等症状。药物过敏引起的痘痘通常比较散在，且常伴随着其他过敏反应，如瘙痒、皮疹等。

除了上述原因，脸上痘痘又硬又疼的可能原因还有：过度清洁、压力过大、饮食不健康等。过度清洁可能会导致皮肤干燥，引起角质层堵塞，加重痘痘；压力过大可能会影响内分泌系统的平衡，引起痤疮发生；饮食不健康可能会导致身体内部环境紊乱，也会影响皮肤的健康。