【认识数学创造团队】作者：内心安静(Java程序员。善于把复杂的数学知识简明易懂地表达出来)

这篇文章应该和注释一起阅读。为了叙述的完整性，很多扩展都在注释里。

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半弦表

研究角度和长度的关系其实就是研究函数，所以用的方法和之前讨论的乘法和对数一样：直接编个表。

最早，托勒密使用弦长，但后来这个表被印度数学家改进，从& quot弦长表& quot到& quot半和弦表& quot，因为如果你想用这张表来解任何三角形，& quot半和弦& quot显然比& quot和弦& quot，即使在这个表中，& quot半和弦& quot也叫& quot正弦& quot和& quot半和弦& quot另一个角叫做。[1]

后来，印度人的半弦表被阿拉伯人送回欧洲[2]，翻译成希腊语‘sino(sin)’,意思是& quot海湾& quot，所以在东方人的意识中，正弦是& quot弓弦& quot，而在西方人的意识中它是& quot海湾& quot，co的意思是& quot工会& quot在拉丁语中，所以“CO”

SinusIridum是月球西北侧的撞击坑。

日晷和测量金字塔的高度都使用直角三角形的直角边。起初，直角边之间的关系被拉丁语命名为& quot影子& quot。随着数学的不断发展，概念也从具体走向抽象。15世纪后，开始用tangere(谭)来形容，意思是& quot联系人& quot拉丁语，而中国翻译& quot谭& gt；as & quot切线& quot。这显然是从线和圆的关系来看，‘谭’所在的直线正好与圆相切。

从具象到抽象

国内出版的一个精度为8位数的三角函数值表。

但这种定义方法是有缺陷的：如果定义在直角三角形上，钝角就不存在了，从这个角度看，我们似乎很难进一步探究它的含义。[3]

随着解析几何的发展，发现如果定义在单位圆上，那么角度函数可以用圆和三角形的线段，或者坐标的比值来表示。[5]

钝角三角形的问题就解决了，因为可以在负轴上做高度；这种定义方法也使角度由静态变为动态，出现了负角。从坐标系来看，顺时针旋转减小角度，反之亦然。[4]

通过记录如此获得的x和y，可以绘制图像；从动态旋转的角度来看，角度可以突破360，不需要限制函数的定义域，因此出现了最优角度。因为角度本身是周期性的，所以函数图像也是周期性的。

你一放出来，就会观察到，罪和cos其实是& quot二维世界中的点，一维世界中的投影。"很容易理解，罪和罪的形象形状是& quot夏普& quot因为它们相当于& quot使圆变平& quot；生活经验也会告诉我们，从投影的角度来看，圆周运动有快有慢。

从几何意义上可看出：

sin和cos的取值范围是[-1，1]，而tan的是整组实数。因为tan是一个斜坡，垂直时不存在，畴是

另外，函数值的符号一目了然：因为sin其实是Y，所以在角坐标的前半部分结果为正；Cos是x，所以右边是正的；Tan是sin/cos，所以& quot同增异减& quot在第一和第三象限为正。

角函数的应用

所以在物理运动分析中会看到，因为它能把复杂的曲线运动分解成简单的直线运动；你还会在力分析中看到他，力分析可以把平面上的任何力分解成两个垂直于平行线的力之和(也叫& quot向量平行四边形法则& quot).

也可以认识到，直角坐标和角长实际上等价于描述平面上的任意一点，这两种形式的桥都是角函数。

在描述旋转(曲线)时，直接用旋转量角度(弧度)比平移量(直角坐标)要简单方便得多，所以我们有了另一种描述曲线的方法，现在就可以方便地使用，所以你可以看到& quot极坐标& quot在雷达屏幕上。

再举两个例子，极坐标方程y=1代表圆，y=e (a)代表螺旋：

当然，向量和复数也可以用这两个坐标来表示，它们的两种表示可以用角函数来变换。

三角形与圆

从旋转的角度来看，直角三角形其实是简单的，而任意三角形是复杂的。

为什么这样讲呢？

再看角度和圆的定义(上一篇文章讨论过)，如果旋转时线段的长度是可变的，那么最后的事情就是& quot任意三角形& quot，对应的是混沌的轨迹和无序；相反，产生的是一个& quot等腰三角形& quot，对应的是优美的弧线和秩序。

为了计算的方便，我们把等腰三角形一分为二形成直角三角形，也把圆弧和整个弦一分为二形成半弦(

直角三角形本来就是圆的一部分(都是有序转动产生的)，只要一旦把角放到直角三角形，就可以化无序为有序，就意味着一下子多了非常多的已知条件，依靠直角三角形往往能让问题的解答简洁优美，有助于问题的解决。

把三角形的任意角，放到直角三角形中是非常简单的，只要作顶点到底边的垂线即可。

从这个角度上来讲：“作高”的过程，其实就是在“作弦”，时光倒流，把原本乱乱的运动变成简洁的运动。所以直角三角形总是这么频繁的出现。

总结

注释

[1]弦长表是希腊天文学家Hipparchus首创的，其作品已失传，事迹记录于托勒密的《天文学大成》一书。如果不知道“正弦”先后有两个意思，就难以理解“正弦”与“圆”的关系。“遇见数学”翻译过一篇文章，作者说“正弦”和“圆”的关系是巧合，也许作者对这段数学史没有了解。

[2]阿拉伯是东西方的信使，托勒密的弦长表是60进制的，因为那时只有60进制才能表示小数。印度人的发明的10进制也是阿拉伯人传到西方的，所以也叫做“阿拉伯数字”，其实阿拉伯人只是个翻译。

[3]用斜边和对边之比定义角函数的源头就在于此。从名称上来看并不利于记忆，和“弦”、“割”及“切”的具象定义无关；其次，从定量上看不及单位圆和坐标系。可以用联想法辅助记忆。

[4]在几何作图中我们往往默认长度是正数，也就是“单向数轴”。如果接受“长度也可以是负数”，也就是“数轴”的概念，那么就钝角的问题就解决了，角度也可以为负。

另外，在寻找复数的过程中，最关键的就从几何上解释√-1，笛卡尔作为坐标系发明人，也没有意识到“数平面”的概念，结果寻找复数的努力失败了。

但是有一个人却极其接近成功，因为他发现如果√-1是存在的，那么做出来的线段应该是在“上方”，这就暗示了“数平面”的存在。可惜这个概念实在是太过抽象，复数的发现最终与他擦肩而过，这个荣誉最后被高斯获得，“数平面”也被命名为“高斯平面”。

[5]定义在直角坐标系和单位圆上的角函数，曾出现过12种，目前最常用的有6种，剩下的3种没有介绍是因为与sin/cos/tan互为倒数，他们分别是：csc余割，sec正割，ctg余切。除非计算中经常使用，就不用符号表示，直接使用倒数表示。我找到了一张图，也许包含了12种吧，不常用的那些我没有仔细看，似乎有一些的名称统一性还挺差。

[6]叫做“角函数”而不叫做“三角函数”是为了响应克莱因的建议。

在开始之前，我要说明用角函数这个名称似乎比习惯上用的三角函数要好，因为三角学只是这些函数的一个特殊应用。它们本身与指数函数相类似，但其中的反函数又类似对数函数。我们称这些反函数为测圆函数。——《高观点下的初等数学》

[7]“解旋”一词借鉴于生物学中的“DNA解旋”，我认为这个词用来解释sin的意义是简洁而恰当的。

参考资料

[1]https://oikofuge.com/names-trigonometric-functions/(图2、注释图1)[2]《数学符号史》[3]《数学史》[4]《数学史通论》[5]TrigonometricDelights,PrincetonUniversityPress,2002ISBN0-691-09541-8.(注释图2)[6]《三角函数超入门》(注释图3)[7]《虚数的故事》(注释图4)[8]https://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif(图6)[9]http://www.sohu.com/a/280452745_372482(图7)[10]《图解数学学习法》

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