说到期望，有些人可能不熟悉；但是说到平均数，大部分人大概都知道。其实期望和平均还是有一定关系的。

期望

假设我有一个不均匀的六面体，每个面都标有数字，分别是1，2，3，4，5，6。如果我把这个六面体向上扔，向上落地的概率如下表所示：

显然，上述概率之和为1。那么这个六面体向上的一面的期望值是多少呢？

我们通过将每张脸的概率乘以每张脸的数量来计算期望值，然后计算它们的和。即：

1*(1/6)+2*(1/3)+3*(1/6)+4*(1/12)+5*(1/12)+6*(1/6)=37/12

所以上面的六面体正面朝上落地的期望是37/12，换算成整数相当于3左右。

不均匀算出来的，如果是均匀的六面体呢？落地时向上的一面的预期是什么？

很简单，因为是均匀的六面体，所以每个面朝上的概率是1/6。所以总体期望是1/6(1 2 3 4 5 6)=21/6=3.5。此时相当于求1-6的平均值。

换句话说，如果每个数的概率相等，那么我们就相当于求平均值；如果每个数字的概率不相等，那么我们就是在寻找期望。我们通常用“E”来表达我们的期望。

方差

假设小明期末考了六门课，成绩分别是60，78，77，90，92，83。那么如何计算小明成绩的方差呢？

我们需要算出小明的平均分：（60+78+77+90+92+83）/6=80.

然后，用小明每门课的成绩减去平均分，求出出差的平方，再算出这些平方的平均值。也就是

[(60-80)^2+(78-80)^2+(77-80)^2+(90-80)^2+(92-80)^2+(83-80)^2]/6=111.

我们称这个结果为方差。推广一下，假设x1，x2有N个数据.xn，并且它们的平均值是，那么方差可以表示为：

方差公式

有时候n的分母会改成n-1，取决于是样本数据还是整体数据，但是对我们的结果影响不大。

那么方差有什么意义呢？它更具体地代表了数据的波动程度,它代表了数据和平均值之间的离散程度。方差越大，数据越分散，离均值越远。方差越小，越多的数据集中在平均值附近。

标准差

标准偏差

那这样做有什么意义？注意，我们的方差是平方的，如果我们的数据有单位，那么最后的结果将是单位的平方，这不太好解释。比如上面小明分数的方差是111，单位是& quot积分& quot。我们会觉得很奇怪。

方差平方后，单位就成了原单位，这样结果就好解释了。可以得出小明成绩的标准差在10.5分左右。也就是说，小明的成绩与平均分平均相差10.5分。

标准差也衡量数据的波动，但它的结果很容易解释。

z值只是一个临界值,它是标准化的结果，本身没有意义。有意义的是它在标准正态分布模型中代表的概率值。查一下表就知道了。

z值对应的概率值表

举个例子，

一个班有100名学生。

然后我们有100的智商值。

从60到180。

假设平均值为90。

然后有的人60，有的人110。平均值和平均值之差的平方就是方差。

方差可以帮助看出这个人离平均值有多远，差距有多大。

但是如果数量很大，

这个数据不容易计算

例如，方差为5、方差为10和方差为20。

太麻烦了

这引入了z值。

z值是方差或单位的度量。

例如，在本例中，我们将单位设置为10。

所以对于方差为5的学生，Zscore为5/10=0.5。

方差为10的学生Zscore为1。

方差为20的学生是2。

然后我们知道最大的是10。

这很容易标记。

这就是为什么要有一个对应正态分布的Z值表。

只看z值是没有意义的，每个例子的单位都不一样。

在正态分布的情况下，单位是实际定义的。

所以只要知道z值，就可以知道这个同学的方差。

相当于知道这个同学的智商离平均水平有多远。

实例：

一次期中考试，小明

已知全市数学平均成绩是108，方差21，英语的平均成绩是97，方差18

通过求Z值和查Z值表，我们可以得知

小明的数学成绩在全市成绩的排名是57.53%，英语成绩是72.91%

所以他的数学成绩中等，英语成绩比较好。

不同分布的z值具有可比性，例如N(0,1)的数据1的z值是1，表示离均值0有一个标准差，另外N(100,10)的数据110的z值也是1，表示离均值100有一个标准差，这样的话可以将不同的分布的数据，通过z值，直接比较各自距离各自均值的距离远近。

一般来说，对于正态分布，三个标准差内几乎涵盖了所有的数据。

68%的数据落在一个标准差内

95%的数据落在两个标准差内

99.7%的数据落在三个标准差内

如果数据分布是正态的，那么曲线的不同面积可以用z值的不同数值来表示。

同时，不同的面积或者不同的z值，也可以表示特定数值出现的概率。

例如：N(100,10)中110以上数据出现的概率大致是16%。

Z值的计算与分析