有多少实数？康托尔对连续统大小的探索启发了现代集合论的惊人发展，并影响了哲学争论直至今日。

什么是连续统假说？简单来说，连续统假设就是一些无穷数的表达，所谓基数。我们非常熟悉有限基数：0，1，2，3，…他们回答& quot多少？"诸如& quot这个方程有几个解？"或者& quot这个集合中有多少个元素？"

事实证明，有限的基数是不够的。一个方程可能有无穷多个解，一个集合可能包含无穷多个数。乍一看，答案似乎是a & quot数量& quot在这种情况下，是一个无穷大的数。然而，康托尔在1879年证明了实数比自然数多。

实数集和自然数集是无限的。那么怎么能说实数比自然数多呢？康托尔证明了不可能把每一个实数分配给每一个自然数。换句话说，每次赋值都会留下很多未赋值的实数。从数学上来说，没有从实数到自然数的映射。)

这一发现意义重大。至少有两个不同的无穷大，一个比另一个大。而且，事实证明，无穷数比有限数多得多。无限基数(超限基数)用希伯来字母表示。

最小的无限基数是0。这正好是自然数集合的大小。下一个更大的基数是1，然后是2，3，依此类推。一组实数的基数是多少？康托尔在其著名的连续统假说中阐述了一个可能的答案。这是一句谚语：

每一组无限实数要么是自然数的大小，要么是实数的大小。

连续统假设实际上相当于说实数的基数是1。如果连续统假设为假，说明存在一组大于自然数但小于实数的实数。在这种情况下，实数集的基数必须至少为2。

多年来，数学家们试图确定连续统假说是对还是错。这个问题如此紧迫，以至于大卫希尔伯特在1900年发表的23个问题的列表中把它排在了第一位。但直到20世纪30年代才取得重大进展。

哥德尔在1938年证明了连续统假设与集合论的ZFC公理是一致的。哥德尔表明，把连续统假设加到这些公理上，不会产生矛盾。这远远不能证明连续统假说是正确的。这个证明将描述连续统假设的真理如何遵循集合论的公理。

ZFC系统中集合论有十个不合逻辑的公理：zermelo-fraenkel公理、对偶公理、空集公理、子集公理、并公理、幂集公理、无穷公理、选择公理、替代公理和正则公理。——百度百科

哥德尔通过构造一个集合论的世界来证明他的一致结果，在这个世界中连续统假设是正确的，也就是所谓的可构造的完备集(可构造的集合宇宙)。从这个完备集的存在，我们可以进一步了解连续统假说。假设有证据证明集合论公理，连续统假说就是错误的。因为集合论公理是在哥德尔的可构造全集中建立的，所以连续统假说在这部全集中必然是错误的。但哥德尔证明了这是正确的，于是就有了矛盾。

因此，哥德尔的一致结果意味着连续统假说不能被证明是错误的。但是我们能找到证据证明它是正确的吗？

又用了30年来回答这个问题。保罗寇恩在20世纪60年代证明了连续统假说是错误的，这与集合论的公理是一致的。——因此，他在1966年获得了菲尔兹米德奖，这是数学家的最高荣誉之一。

为了证明这个结果，科恩发明了一种新的方法来构造集合论宇宙。利用这种方法，他构建了一个集合论宇宙，其中连续统假说是错误的。和哥德尔的例子一样，这个结果意味着从集合论的公理中无法证明连续统假说是正确的。

这给我们带来了什么？结合哥德尔和科恩的这些结果，我们知道，从集合论的公理来看，连续统假说既不能被证明是正确的，也不能被证明是错误的。换句话说，连续统假设独立于集合论的公理：这些公理还不足以强到决定连续统假设的真假。

我们能解决连续统假说吗？

直到今天，哥德尔和科恩的研究还影响着当代集合论以及围绕集合论的哲学争论。每天，集合论者都在用哥德尔和科恩发展的方法建立一套新的完整的集合论。但这只是数学。

一场至关重要的哲学辩论仍在进行。康托尔连续统问题的答案是什么？连续统假说正确吗？毕竟，哥德尔和科恩的结果只是表明，不可能从集合论的ZFC公理中找到证明。所以也许答案还在外面？

一些集合论者认为，他们可以找到集合论的新公理，这将允许数学家解决连续统假设。这些集合论者认为只有一个真正的数学宇宙。在这种宇宙观下，每一个数学命题不是对就是错。因此，为了理解连续统假说是否正确，我们只需要找出更多关于这个数学现实——数学宇宙的信息。

并非所有的理论家都相信刚刚描述的宇宙论。牛津大学逻辑学教授JoelHamkins认为，有许多同样重要的集合论宇宙。哥德尔和科恩开发的方法，以及世界上许多其他人进一步开发的方法，允许集合论者窥视一个非常不同的数学宇宙。根据哈姆金斯的理论，所有这些宇宙共同构成了集合论的多元宇宙。

在这种多元宇宙观点中，并不存在一个真正的集合论宇宙，而是很多个。在某些宇宙中，连续统假说是正确的。在其他情况下，这是错误的。哈姆金斯因此认为连续性问题已经得到了回答：

在我看来，连续统假说是基于多元宇宙的观点，我们对多元宇宙的行为有着广泛的理解。乔尔哈姆金斯——号

集合理论家已经积累了广泛的知识，关于连续统假设如何在集合理论的许多不同的宇宙中表现。他们能准确地理解什么时候是对的，什么时候是错的，以及连续体的大小。在哈姆金斯看来，这些知识构成了连续统一体问题的答案——它不是简单的“是”或“不是”。

你觉得呢？我们应该找出连续统一体假说是对还是错？还是我们已经知道了所有该知道的东西？连续体假说仍然是当代集合理论中最激动人心的争论之一。