数列在数学史上出现的很早，两千多年前人们就对数列有了大致的概念。古希腊亚里士多德就知道公比小于1(大于零)的几何级数可以求和数。芝诺的二分法是将1分解成无限个顺序：

阿基米德在他的书《抛物线图形求积法》中，用几何级数求抛物线的弓形面积，得到了级数：

在中国古代《庄子天下》年的思想中，认为& quot一脚拍子，半天拍不完& quot包含极限，也是用数学形式表示的无穷级数。

在中世纪，数学家和哲学家对一些涉及无穷思想的悖论进行了激烈的争论，从而导致了对无穷级数的研究。最具代表性的是法国数学家奥雷西姆，他用初值法证明了调和级数：

是发散的，以现在的形式可以表达为：

本质上，中世纪的级数理论没有突破。它的主要贡献不在于获得的具体结果，而在于促使人们接受一种新的观点，即数学中可以自由地认识无限过程。这为后来理解无限过程做了铺垫，也为系列形式化奠定了思想基础。

早期数学家认为级数只有靠直觉才能收敛，自然地将级数从有限项展开到无限项，导致了有限定律的无限展开。17世纪，随着微积分的出现，许多数学家通过微积分的基本运算和级数运算的形式结合，得到了初等函数的一些幂级数展开式，级数在分析运算中被广泛用来表示函数，成为微积分的有力工具，这就使得无穷级数成为微积分不可缺少的部分。.

1669年牛顿在他的《用无限多项方程的分析学》中用级数求逆的方法给出了sinx，cosx的幂级数，arcsinx，arctanx，E x的级数展开。格雷戈里获得了tanx、secx等函数的级数，莱布尼茨在1673年独立获得了sinx、cosx、arctanx的无穷级数展开式，以及圆面积、双曲面积的具体展开式。在微积分的早期学习中，处理一些超越函数如指数函数是相当困难的。但是，人们发现用他们的系列来对付他们会非常有效。所以无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的重要组成部分。有时用无穷级数计算一些特殊的量，如，E，求隐函数的显式解。

17、18世纪后期，为了适应航海、天文、地理的发展，数学家面临的问题之一就是函数表的插值。由于函数表的高精度，数学家们开始寻求更好的插值方法。牛顿和格雷戈里给出了著名的插值公式：

1715年，泰勒发表了《增量方法及其逆》，奠定了有限差分法的基础。17世纪牛顿、莱布尼茨等人研究了有限差分问题，泰勒的工作使有限差分法从有限法(如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等)过渡。)到一般方法。在这本书中，他给出了著名的一元幂级数展开公式，即泰勒级数：

泰勒是第一个出版这个系列的人，但他不是第一个发现它的数学家。格里高利、牛顿、莱布尼茨、约翰伯努利和德莫维尔等数学家在他之前就研究过这个级数。1717年，泰勒用这个级数解方程，取得了很好的结果，但他的证明并不严格，也没有考虑收敛问题，在当时并没有太大的影响。直到1755年，欧拉在微分学中推广了泰勒级数。

应用于多元函数时，增加了泰勒级数的影响，然后拉格朗日用带余项的泰勒级数作为函数论的基础，进而正式确立了泰勒级数的重要性。后来，麦克劳林重新得到了泰勒公式在口=0时的特例。泰勒级数的这种特例一直被称为& quot麦克劳克林系列& quot在现代微积分教科书中。

詹姆斯伯努利和约翰伯努利在级数方面做了很多工作。詹姆斯伯努利从1689年到1704年写了5篇关于无穷级数的论文，成为当时这一领域的权威。这些论文的主题是函数的级数表示及其在求函数的微分和积分、求曲线下面积和曲线长度等方面的应用。所有这些系列应用都是对微积分的巨大贡献。

欧拉对级数的研究

欧拉对级数收敛和发散的认识

形式观点在18世纪的无穷级数作品中占主导地位。级数被视为无穷多项式，被当作多项式处理，其敛散性没有深入研究。欧拉或多或少地意识到了收敛的重要性，他也看到了关于发散级数的一些困难，尤其是用它们来计算的时候。欧拉把收敛级数定义为& quot级数的项不断减少，当级数的项数趋于无穷大时，其项完全消失，这样的级数称为收敛级数& quot。"发散级数是那些不收敛的级数，即级数的项是有限的或趋于无穷的。在级数理论的研究中，欧拉还应用了一个原理：如果级数的部分和为无穷小，则级数收敛。这个原理看起来像是柯西准则的非标准版本，但它用现代的方式找到了收敛级数和发散级数的区别。欧拉对收敛级数的定义不尽如人意，欧拉也承认这一点。因为欧拉研究了一些级数，级数的项越来越接近，但和趋于无穷大，比如调和级数，欧拉也研究了这类级数。

调和级数

在18世纪，伴随着级数理论不断发展，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。但对于级数理论本身而言，其中最具启发性的工作是关于调和级数和为无穷的证明。调和级数的讨论引起了学者们对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果。

欧拉研究了调和级数：

并能够用对数函数求调和级数的有限项地和。

欧拉是从

出发，于是

带入x=1,2,3，……n就得出

各式相加，并注意到每一个对数项是两个对数之差，就得到：

或

其中C表示无穷多个有限算术的和，欧拉近似的计算过C的值，并得到C=0．57721566490153286060651209……这个C现在通称的欧拉常数，用γ（gamma）表示。这是继π、e之后的又一个重要的数。γ的一个更精确的表示，今天是如下得到的。

上式中，两边减去logn得到：

当n一∞时它趋于0。

因此

得到了这个关于y的最简单的表达形式，到目前为止，关于γ的性质还没有弄清楚（是否是代数数，是否是超越数）。

欧拉常数——最神秘的数字，调和级数的产物，至今看不清它的面貌

巴塞尔问题

欧拉在数学领域获得的第一个令人注目的成绩就是在1735年解决了巴赛尔问题。巴赛尔问题是指求整数倒数的平方和问题，即：

巴赛尔问题是由法国数学家门戈利在1644年提出的，后来这个问题被雅各布伯努利于1689收录在一本名为《没有结论的无穷级数》的书中，并引起了数学家们的广泛关注。

许多数学家都进行过探讨，虽然大家试图考察这类级数的收敛性，但都没有给出级数和的精确值，均以失败告终，其中包括奥雷姆、莱布尼茨、彼得罗·门戈利、雅各布伯努利和约翰伯努利。

1731年，24岁的欧拉从他的老师约翰．f白努利那里听说了这个难题，经过一年的反复研究，发现了解开这个谜的钥匙，他兴奋的写道：

…完全意想不到，我发现了基于π的一个绝妙公式。

欧拉一共用四种不同的方法来解决巴赛尔问题，最著名的是第三种方法。

欧拉解决这个难题的两个重要环节是：利用正弦函数的泰勒展开，把正弦函数表达为无穷多项式；研究一般的代数有限多项式的性质，将其推广应用到无穷多项式，即将其形式化处理。

首先欧拉给出一个玎阶多项式p(x)，这个多项式满足有n个非零根a1,a2,a3,…，an。且p(0)=1，即有：

欧拉令：

再将正弦函数sinx进行泰勒展开得到：

则得到：

当x≠0时，

所以p(x)=0(x≠0)的解等价于sinx=0的解，为x=±kπ，k=1，2，…

则：

即有：

成立。欧拉得到的这个等式非常重要，是解决这个问题的关键。接着，欧拉将这个等式的右端展开，得到：

再根据系数相等，得到

即

在这个过程中，很明显能够看出欧拉处理级数的形式化方案，通过这两个重要环节相结合使用，欧拉发现了其他数学家几十年未能发现的结论。

欧拉的工作非常重要，特别是关于整数乘方倒数与万之间的巧妙关系，是人类认识的一大进步。