作者|刘洋洲

来源|转自知乎专栏 《万物皆数也》 ，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

质数ABC质数(primenumber)，又称质数：

素数是只有两个因子的自然数：1和它本身。大于1的非质数是合数，1既不是合数也不是质数。

质数不能放在矩形中。

算术基本定理体现了素数的地位。

定理1(算术基本定理)任何正整数都可以表示为素数的乘积。

不管素数的顺序如何，这样的分解都是唯一的。如果1算作一个质数，那么这个质因数分解不是唯一的。每一个正整数，就像质数组成的化合物，可以分解成最简单的质数原子，而& quot化学式& quot每个正整数的都是唯一的。事实上，从算术基本定理出发，我们可以把正整数写成如下：

所以我们只能通过指数列来表示任意正整数。质数的概念至少在古希腊就出现了。然而，两千年过去了，质数定律并没有完全展现在世人面前。因为素数定律几乎是随机的，没有人能准确预测下一个素数会落在哪里。古希腊数学家厄拉多塞的筛选法是判断素数最基本的工具；

如果定理2不能被前面所有的素数整除，那么它就是一个素数。

之所以只需要检验前面的素数，是因为反比例函数是对称的。

有无穷多个素数吗？欧几里德给出了一个巧妙的证明：如果有有限个素数，那么很明显，所考虑的数不可能被所有已知的素数整除。这时候有两种情况：

如果是质数，但是(因为比已知质数大)，这与假设相矛盾；

如果是合数，根据算术基本定理，一定有某个素数的素因子，但是(因为所有已知的素数都是不可整除的)，这是矛盾的。

假设它不成立。——

定理3素数有无限多！

素数是整数乘法系统的基石，对于一般的整数，只要素数为真，很多命题自然也为真。

素数是如此的不规则，以至于相邻素数之间的距离也是数学家关心的问题。其实素数间距可以任意大，只要注意下面的连续合成序列就可以了。

如果把素数之间的距离看成一个数列，那么这个数列中就有子列(所谓子列，从集合的角度看是无穷元素的子集，但新数列的顺序仍然是按照原数列的下标从小到大排列的，比如奇数列是自然数列的子列，奇数按从小到大的顺序排列)，这个子列就趋于正无穷大。我们把这种现象表述为：

孪生素数是指差为2的素数对。我们在项后列出最小的素数间距，

但是，没有人知道这个数列中2的个数是否有尽头，也有可能随着项数足够大，素数间距不再小于等于4，6，8，甚至变得无限大。2013年，张给出了一个让人放心的答案：这个系列不会超过7000万，也就是

孪生素数猜想等价于：

质数和等差数列也有独特的命运。

定理4's(狄利克雷定理)等差数列包含无数素数时。

2004年，格林和陶哲轩也证明了素数中存在任意长度的等差数列。

素数定理图片背景是一个素数螺旋图。

我们把满足下列性质的数论函数命名为乘性函数: If，then。

因为所有大于1的正整数都可以被质因数分解，所以对于乘法函数来说，

所以函数值可以转化为函数值。

例如，欧拉函数表示不超过的正整数中互质的个数。欧拉函数是一个乘法函数：

如果引理5,那么

证明：'s假设不多于，而互质的数是所有；不止是，还有互质。因为，是的

所以至少有数和互质，也就是。

反过来，一个数是互质的，一定是互质的，可以用同样的方法构造，它c

下令吧。

推论6(费马小定理)，那么

证明很简单，但需要补充约化剩余系的内容，所以省略。顺便说一下，——

定理7(威尔逊定理)是素数的充要条件。

威尔逊定理也有很多变体。

<公式左右滑动可见>

但是并不实用。目前计算机快速判别质数的方法基于费马小定理的逆命题，然而逆命题不成立存在反例——伪质数，只不过它出现的概率极低。

就连欧拉也感慨：“世界上有许多人类智慧无法解释的奥秘，看一眼质数表就会发现，它是如此毫无秩序，毫无规则可言。”不过欧拉还是凭借他非凡的洞察力，发现了如下公式：

定理10

<公式左右滑动可见>

证明：证明只需要用到等比级数公式：

然后展开括号，

<公式左右滑动可见>

比较原式左右两边的项，不重不漏一一对应。（绝对收敛级数的求和顺序不影响最后结果）

事实上，利用该式也可以证明素数有无穷个，假设质数有限，则

然而令，

调和级数发散。于是等式左右两边同时取极限不相等，矛盾。

利用高等数学的技巧，我们可以得到时的特例：

推论11

质数、自然数、圆周率被奇妙地联系在一起。

当时的人们并没有意识到欧拉这个恒等式有何作用。另一方面，高斯和勒让德猜测了质数渐进公式：

定理12（素数定理）

值得一提的是勒让德关于素数计数函数的公式：

定理13（勒让德），

<公式左右滑动可见>

这个公式实际上和欧拉函数公式（推论5）有一定的关联性。假如上面的公式等号右边取整号全部去掉，则

其中.于是得到

这该怎么理解呢？因为对于而言，之前的数都可以被整除，也就是与都不互素；之后与互素的只能是新的质数了。当然，这个有趣的推理其实非常不严谨，它基于一个难以实现的前提——能整除之前的所有质数。

直到黎曼将欧拉定义的函数解析延拓到复平面（挖掉这个奇点），一切变得明朗起来。黎曼甚至给出更精确的素数定理的猜想，它等价于我们现在所说的黎曼猜想：的非平凡零点全部分布在这条直线上。

而原始的质数定理只需要证明：上无零点。这个事实最终在1896年由阿达马和德·拉·瓦莱布桑按照黎曼的思路，各自独立地利用高深的整函数理论证明。1949年，塞尔伯格和埃尔德什分别独立地给出素数定理的初等证明。

质数定理的证明

质数的研究或许永远没有尽头。质数就像是一群调皮的孩子，任意对他画出种种条条框框，都不能尽皆约束；然而他偶尔也有听话可爱的一面，在你不知道的地方，零零散散站立着，等待数学家去发现。

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