三角学是数学的一个分支，研究三角形的边和角之间的关系。几何学中随处可见三角学，因为每一个直的形状都可以分解成一组三角形。此外，三角学与其他数学分支有着惊人的复杂关系，尤其是复数、无穷级数、对数和微积分。

三角学这个词是16世纪的拉丁语派生词，来源于希腊语trig non non和metron。虽然这个领域出现在公元前3世纪的希腊，但一些最重要的贡献(如正弦函数)来自公元5世纪的印度。由于古希腊早期的三角学著作已经失传，不知道印度是否有学者独立发展了三角学，或者受到希腊的影响。根据VictorKatz在& quot数学史(第三版)& quot(Pearson，2008)，三角学主要是根据希腊和印度天文学家的需要发展起来的。

示例：帆船桅杆的高度

假设你需要知道帆船桅杆的高度，但你无法爬上去测量。如果桅杆与甲板垂直，桅杆顶部与甲板相连，则桅杆、甲板和索具绳索形成直角三角形。如果我们知道绳子离桅杆有多远，绳子穿过甲板的倾斜度，那么我们就需要确定桅杆的高度是一个三角函数。

对于这个演示，我们需要检查几种描述& quot倾斜& quot。第一个是斜率,这是一个比较一条线垂直增加多少单位(其上升)与水平增加多少单位(其http://www . Sina.com/)的比率。因此，斜率的计算方法是上升除以跑步。假设我们测量索具点距离桅杆(跑道)底部30英尺(9.1米)。通过将斜率乘以斜率，我们将得到桅杆高度。不幸的是，我们不知道斜率。然而，我们可以找到索具绳索的运行，并使用它来发现斜坡角度角是一个完整圆的一部分，定义为具有360度。这很容易用量角器测量。让我们假设索具绳索和甲板之间的角度是一个圆的71/360，或71度。

我们想要斜坡，但是我们只有角度。我们需要的是将两者联系起来的关系。这种关系叫做& quot。函数& quot并写成谭(x)。角度的正切给出了它的斜率。在我们的演示中，等式是tan (71)=2.90。我们稍后会解释我们是如何得到这个答案的。)

这意味着我们的索具绳索的斜率为2.90。由于索具点距离桅杆底部30英尺，桅杆必须为2.9030英尺，即87英尺高。(它的工作原理与公制相同：2.90x9.1=26.4m米.)

正弦、余弦和正切

根据已知的直角三角形各边的长度和角度，还有另外两个三角函数可能更有用：切线函数写的sin(x)和正弦.写的cos函数在解释这些函数之前，我们需要一些附加项。接触的棱角被描述为余弦.每边有两个相邻的角。不相交的边和角被描述为直角三角形的相邻.直角的对边称为相反的(来自希腊语，意思是& quot拉伸到以下& quot).剩下的两边叫做斜边.

通常我们感兴趣的是直角以外的角度(如上例所示)。在上面的例子中，我们指的是相对于感兴趣的角度的腿的长度；同样，& quot运行& quot被认为是相邻腿的长度。当应用于角度测量时，三个三角函数将产生边长比的各种组合。

换句话说：

角度A的正切=对边的正弦除以邻边的长度A=对边的余弦除以斜边的长度A=邻边的长度除以斜边的长度从我们之前的桅杆例子中，可以从它的图中确定角度和它的正切的关系，如下所示。正弦和余弦图形也包括在内。

值得一提的是，虽然超出了本文的范围，但这些函数通过各种称为恒等式的复杂方程相互关联，恒等式总是成立的。

每个三角函数还有一个反函数，可以用来根据边比求角度。sin(x)，cos(x)和tan(x)的倒数分别是arcsin(x)，arccos(x)和arctan(x)。

直角三角形以外的形状

三角学不限于直角三角形。它可用于所有三角形和所有有直边的形状，它们被视为三角形的集合。对于任何一个三角形，如果你至少知道六个边和六个角中的三个，通常就可以确定另外三个。三个已知边和角的六种构形中，只有两种构形不能用来确定一个三角形的全部内容：三个已知角(AAA)和与已知边相邻且相对的已知角(ASS)。使用以下工具确定未知的边长和角度：

正弦定理，它说，如果已知三个测度中的一个的相对角/边，其他的可能只能从已知的一个来确定：SIN(A)/A=SIN(B)/B=SIN(C)/c余弦定理，它说，可以从两个已知的边，和它们之间的夹角，找到一个未知的边。本质上是一个毕达哥拉斯定理，对于90度以外的角有一个修正因子：C2=a2 B22 abcos(c)三角形中所有角之和为180度的事实：ABC=180

三角学的历史

三角学遵循着一条类似于代数的道路：它在古代中东发展起来，通过贸易和移民转移到希腊、印度和中世纪的阿拉伯，最后，因为在知识跨越文化界限后的几个世纪里，印度和阿富汗

拉伯在研究中继续表现出色，三角学发现的时间表变得复杂。例如，直到1670年艾萨克牛顿的独立发现，Madhava1400年发现的无限正弦级数才为欧洲所知。由于这些复杂性，我们将专门关注正弦、余弦和正切的发现和通过。

从中东开始，公元前7世纪的新巴比伦尼亚学者确定了一种计算黄道带上固定恒星上升时间的技术。不同的恒星在黎明前升起大约需要10天，12个黄道星座中的每一个都有三颗恒星；10×12×3=360。数字360与一年中的365.24天非常接近，但使用起来要方便得多。在其他古代文明的文本中发现了几乎相同的划分，例如埃及和印度河流域。根据UtaMerzbach在“数学史”中的说法”（Wiley，2011），公元前150年左右，希腊学者亚历山大的Hypsicles对这种巴比伦技术的改编很可能是尼西亚喜帕恰斯（公元前190至120年）开始将圆圈切割成360度的趋势的灵感来源。使用的几何形状，依巴谷确定三角函数的值（不再使用的函数）为7.5度（48增量第一个圆的）。亚历山大（AD90至168）的托勒密，在他的AD148“天文学大成”，通过确定对于0.5度（720增量三角函数值进一步推动喜帕恰斯的工作个从0到180度的圆的）。

正弦函数的最古老记录来自5世纪印度Aryabhata（476至550）的著作。“Aryabhatiya”（499）的第1.12节，不是以度数表示角度，而是包含一个直角二十四分之四正弦的顺序差异列表（增量为3.75度）。这是未来几个世纪大部分三角学的起点。

下一批继承三角学的伟大学者来自伊斯兰教的黄金时代。阿拔斯哈里发的第七任哈里发、巴格达智慧之家的创建者马蒙（813年至833年）赞助将托勒密的《天启》和阿雅巴塔的《阿雅巴提亚》翻译成阿拉伯语。不久之后，Al-Khwārizmī（780至850）在“Zījal-Sindhind”（820）中产生了准确的正弦和余弦表。正是通过这项工作，三角学的知识首次传入欧洲。根据GeraldToomer在“科学传记词典7”中的说法，虽然最初的阿拉伯语版本已经丢失，但它由Al-Andalus（现代西班牙）的al-Majriti在1000年左右编辑，他很可能在Adelard之前添加了切线表。于1126年将其翻译成拉丁文。