转到网上一个很有意思的问题：

乍一看，这个问题似乎没有意义，但它实际上是一个非常深刻的问题，涉及到抽象代数(abstractalgebra),的一些基本概念，所以我打算写一篇文章来阐述它。

人类的数学始于计数，最早的概念是自然数(natrualnumber).后来，随着数学应用的扩大，一种新的数产生了。

初中的时候，我们详细介绍了对数的体系。

高中我们学习了集合的概念，从集合的角度学习了数。为了描述方面，我们用一个字母来表示由不同类型的数字组成的集合。我们学到了以下内容：

自然数集：N,整数集：Z,有理数集：Q,实数集：R和复数集：C相信很多朋友在这里都会遇到和这位网友一样的问题：无理数(irrationalnumber)也是一种非常重要的数字类型，为什么他们的集合不用字母来表示呢？是书里忘了提，还是说数学家懒得起名字？

其实无理数集不用字母表示是有原因的。要理解这个原因，我们必须先了解三个基本概念：集合(set)，二元运算(binaryoperation)，和封闭(closed)。.

基本概念

二元运算和二元运算对我们来说很熟悉，但是我们以前没有给它下过精确的定义。用不太正式的语言描述，一个二元运算就是一种把两个数变成一个数的对应法则。,如加法，是一种二元运算，因为他把1和1变成了2，2和3变成了5，等等。同理，加减乘除的四则运算都是二元运算。

但是我们一般把减法看成是加法的逆，把除法看成是乘法的逆，所以基本的二元运算只有两种。

所以有人会问，既然有二元运算，那还有一元运算吗？当然有。所谓一元运算，无非是把一个数换成另一个数。我们常见的运算，如对数运算，开方运算,都是一元运算。但其实所谓的一元运算，就相当于我们学过的函数。

同理还会有三进制运算，四进制运算，n进制运算等等，就不多讨论了。

事实上，封闭和“封闭”是理解本文的核心概念。

闭包基于集合和二元运算的概念。

对于某个数的集合和一个运算，如果从该数集里面任意挑两个数，做二元运算所得到的结果仍然是这个集合中的数,据说这个数的集合就是这个二元运算的封闭的。。

例如，最简单的例子是自然数集对加法就是封闭的,因为任何两个自然数相加的结果仍然是一个自然数。以而自然数集对减法运算不封闭,为例，我可以随便说出两个数字，2和3。都是自然数，但是2-3=-1，所以不是自然数。

封闭

我们先分析一下已知集合与四则运算的接近程度。

自然数集N，对于加法运算和乘法运算都是封闭的，但是对于减法运算和除法运算不封闭。,整数集Z，对于加法运算，减法运算，乘法运算都是封闭的，但是对于除法运算不封闭。,有理数集Q，对于四则运算都是封闭的。,实数集R，对于四则运算都是封闭的。,复数集C，对于四则运算都是封闭的。,这里我要强调的是有理数集，它与加减乘除四则运算关系密切。这不是显而易见的事情，我们需要有严格的证明。

所谓有理数就是一个可以写成两个整数之比的数，那么我们假设有两个有理数b1/a1，b2/a2,其中a1、b1、a2、b2是一个整数，看看它们四则运算的结果：

可以看出，四则运算的结果仍然是有理数，证明了有理数集对四则运算是封闭的。

这里我想说的是，数学家已经证明了：有理数集是对加减乘除四则运算都封闭的最小的数集.它意味着任何比有理数小的集合，哪怕只是比有理数集合小一个数。

在抽象代数学中，我们把对加减乘除四则运算都封闭的集合称为一个数域(numberfield)，可以看出，实数集和复数集都是数域。而我们上面提到的结论就是：有理数集是最小的数域。换句话说，任何数域都包含有理数集作为它的子集。

无理数集

分析完这些，我们就可以来看看无理数集了。我们会发现，无理数及对四则运算都不封闭。我们很容易就能举出例子来：

原来无理数集是个如此糟糕的集合！这就是我们不给它用字母表示的原因。

在现代代数学中，数学家们主要关注的就是集合及集合中元素的运算结构，产生了群(group)，环(ring)，域(field)等一系列概念。

一个集合上某个运算是封闭的，那么研究它才有意义，会有很多很美好的性质。但是如果运算不封闭，那么研究起来就会杂乱无章，并没有太大意义。

对于前面五个集合，都存在至少一种运算使其封闭，我们就利用这种封闭性来得出不少新的性质，解决了很多数学问题，甚至构造出更多更复杂的结合。数学家们经常使用这五个集合，为了叙述上的方便，就拿五个字母来代替他们。

但是对于无理数集合，因为它对四则运算都不封闭，因此无法得到像前面五个集合那样丰富的性质，使用起来也就不如它们频繁，所以我们就没有必要拿一个单独的字母来命名它。

结束语

讲到这里就不得不稍微提一下近世代数(modernalgebra)的发展。

近世代数中最主要的概念——群，思想起源于19世纪法国数学天才伽罗瓦(Galois，1811～1832)。伽罗瓦利用群论的方法，彻底解决了五次及以上方程根式解的问题，是数学发展史上开天辟地的事情。我这位旷世数学天才却因为意外而英年早逝，年仅21岁，是人类数学史上的一大憾事。

不过，我们现在在教科书上学到的代数学之所以长这个样子，则主要归功于20世纪德国女数学家，被誉为“现代代数之母”的艾米·诺特(EmmyNoether，1882～1935)。诺特是数学史上毫无争议的最伟大的女数学家，他和他的学生所形成的“诺特学派”，彻底改变了代数学的全貌。