甲亢对眼睛的伤害症状通常会出现眼睛突出、眼睑肿胀和眼球运动异常等症状，详情如下：

1. 眼睛突出：甲亢患者常常会出现眼球向前突出的情况，即眼球与眼眶之间的距离增加，使得眼球凸出眼眶。这是因为甲状腺功能亢进引起的免疫性甲状腺眼病导致眼眶组织水肿、纤维化和乳头肿胀，从而使眼球位置发生改变。

2. 眼睑肿胀：甲亢患者的眼睑常常会出现肿胀的情况。这是由于甲状腺激素过高刺激眼眶组织，引起眼睑周围的组织水肿和充血，导致眼睑肿胀。

3. 眼球运动异常：甲亢患者常常会出现眼球运动异常的情况，例如眼球震颤、眼球运动范围受限等。这是由于甲状腺功能亢进引起的免疫性甲状腺眼病影响了眼球肌肉的功能，导致眼球运动异常。

除了以上相对常见的症状外，甲亢对眼睛的伤害还可能导致眼球疼痛、眼干涩、视力模糊、光敏感等症状。这些症状的出现与甲状腺功能亢进引起的免疫性甲状腺眼病导致眼睛组织炎症和充血有关，同时也可能由于眼球突出导致泪液分布不均匀而引起眼干涩和视力模糊。此外，免疫性甲状腺眼病还可能导致眼睛感染、角膜溃疡等严重并发症。