1.引言

自然数是一个我们熟悉的概念，直到我们认为它们的出现是自然的，但是如果我们问& quot1 & quot，什么事？为什么1 1等于2？估计很多人都会低头琢磨一下，然后给出一个奇怪的答案。

数学中的任何概念都是需要严格定义的，这里面没有歧义。在古典数学时期，由于人们讨论的问题是原始而简单的，使用没有定义的概念不会带来严重的问题。然而，随着数学研究的深入，胡乱地使用概念便会带来灾难性后果,最著名的例子是微积分的初级阶段。由于“无穷小量”,概念的模糊性，第二次数学危机甚至被触发。由此可见，理清概念有多重要！

对自然数等基本概念的质疑是去19世纪末期与20世纪初期.那是一个风雨飘摇的时代，数学、物理、哲学出现了惊天动地的转折。数学家开始思考：数学的基础究竟是什么？数学证明的本质又是什么？诞生了两个基本的数学理论，——集合论与数理逻辑.严格定义的自然数概念也在这个时候出现了。

1889年，意大利数学家皮亚诺(GiuseppePeano,1858-1932),发表了他的代表作《 《算术原理新方法》 (Arithmeticesprincipia,novamethodoexposita),》，在这部著作中，他在另一位德国数学家戴德金(Dedekind,1831-1916),的工作基础上首次提出了一套算术公理系统。1901年，他在这本杂志上创立了 《数学杂志》 ,并优化了以前的算术公理系统，最终形成了所谓的“皮亚诺公理”(PeanoAxiom)。.

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2.皮亚诺公理的具体内容

那么属性是什么呢？我们来具体看一下。

对于集合A，如果它满足下列性质：

1.包含一个元素，我们称之为& quot1 & quot(或者& quot0 & gt；取决于你是否把0当成自然数)；

2.对于中的每个元素A，您可以在中找到与之相关联的另一个唯一元素，称为& quot继任者& quotA的，记为‘A’；

3.中任何元素的后续元素都不是1；

4.A中任何两个不同的元素都有不同的后继者；

5.对于A的子集B，如果满足以下两个性质：第一，1B；第二，如果x b，那么xB .那么B等于a。

称为自然数集。

写到这里，估计很多小伙伴都会忍不住戒了，放心吧！慢慢听我说。

以上这些东西虽然看起来乱七八糟，但每一个都不外乎是一种本性。换句话说，如果你找到一个集合，它能够满足上面几条性质，这个集合就可以称为一个自然数集。将面临一个新问题：真的有集合能够满足上面的所有性质吗？如果有的话，只有一个集合吗？我要到哪里找这个种集合呢？.

其实这才是本文的重点。我将以我们日常生活中所熟悉的微信群,为例来寻找这样一个集合。

3.用微信群来构造自然数

如果有一天我在床上无聊了，想和几个朋友聊聊天，我决定自己建一个微信群。

自然，我是群主。小组里不能只有我一个人，所以把闺蜜也带进来了。但是两个人是不够的。为了增加小组的人数，我制定了一个小组规则：否则不允许任何一个加群的人，都必须拉一个小伙伴进来，加入。

好了，定了这个组规，我就可以完成任务了。

其实，我们已经不知不觉地完成了自然数的构造，这个大微信群就是一个满足上面几条性质的集合！

为什么我敢如此断言呢？只需要逐一检查它是否满足上面的几条性质就可以了。

我是群主嘛，所以我肯定在这个群里，我就把自己叫成“1”

这个是由群规保证的。对于群里的每一个成员，他进群时肯定会拉一个自己的小伙伴进来，这个小伙伴就是他的后继。

1就是我呀，因为群是我建的呀，所以我不是被任何人拉进来的。

这一条也是很显然的。群里每个人都拉了一个自己的小伙伴进来，当然有可能两个不同的人想拉同一个人进来。比如小张和小明都想拉小红进来，如果后来的小明发现小张已经把小红拉进来了，那么他只好再找另外一个人拉进来。所以肯定是不同的两个人拉的小伙伴们也不一样，这一条可以得到满足。

这一条比较复杂。假如某一天有个成员想偷偷建个小群，结果被我知道了。我很不开心：明明是我建的群嘛，你却在底下拉帮结派。不过，仁慈的我不是不同意，但是有条件：你建小群可以，但是，第一得把我拉进去，第二你也得立一条群规，有谁想进你这个小群，就必须把自己在大群的小伙伴拉进来。

第五条性质虽然比较复杂，但它是我们在高中学过的数学归纳法的基础。

经过这样一番操作，你会发现，这个小群和原来的大群明明就是一样的呀。对喽！这说明第5条性质得到了满足。

好了，到此为止5条性质全部检验完毕！我真的找到了这样一个集合。那么它就可以看成是一个自然数集，包含的元素是：我，我的小伙伴，我的小伙伴的小伙伴，我的小伙伴的小伙伴的小伙伴，...，妈耶，嘴皮子都不利索了。那干脆，因为我叫1，那我就把我的小伙伴叫为2，我的小伙伴的小伙伴叫为3，...，这不就是我们熟悉的自然数吗。

通过这个例子，相信大家已经能从直观上理解皮亚诺公理了。当然，这样的集合肯定不止这一个，我可以建微信群，你也可以建微信群，他也可以建微信群，每一个这样的微信群，其实都是一个自然数集合。甚至你还可以举出自己构造的一些其它的例子来，所以理论上自然数集是有无穷多个的。但是这些集合彼此之间又具有相同的结构，所以就不把它们做区分了，通通称为自然数集，一个自然数集中的每一个元素就称为一个自然数。

在这无数多个自然数集中，有一个最简单的自然数集，就是我们在中学时学的那个自然数集：

N={1，2，3，4，5，...，}

所以我们学的自然数，只是自然数的一个特例。这种说法听起来非常奇怪，但其实在数学上这种处理方法非常常见。它的核心就是所谓的等价关系(equivalentrelation)和同构(isomorphism)。

4."实无限"和“潜无限”

到这里故事就结束了吗？不，远远没有。

敏锐的同学们估计已经想到了，既然每个成员都要拉一名新人进来，这样一来就没完没了了，微信群永远也灌不满，我们还能把这个微信群本身当成一个集合吗？这就涉及到了两个非常重要的概念："实无限"和“潜无限”。

"实无限"和“潜无限”是人们对于无限这个概念的两种观念。古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle)在历史上第一次对二者进行了区分。

简单来说，“潜无限”认为，无限是一个无穷无尽，永恒延续的过程，由于它永远无法完成，因此不能被当成一个整体来看待。而“实无限”与之相反，认为实现是一个完成了的实体，我们可以把它当成一个整体来看待。

这其实就触及了我们刚才的问题，一个包含了无限多个成员的微信群，究竟是不是一个单独存在的微信群。很显然，在皮亚诺公理中，我们实际上是把包含无限元素的集合当成一个整体来看待的，因此现代数学实际上是建立在“实无限”的观念之上的。关于这一点更深的讨论，可以参考我的另一篇文章：圆周率π是否存在——浅谈“实无限”与“潜无限”

接受了“实无限”的观念，也就可以接受自然数这个概念了。

当然这对整个数学大厦来讲，还仅仅只是个开始，我们定义完自然数，还要在此基础上定义整数，有理数，无理数，实数，复数等等一系列概念，这一过程也是无比艰辛的，凝聚了两千年来人类的智慧。但同时也反映出，数学是一个非常严谨的逻辑体系，任何想要学好数学的人，一丝一毫都马虎不得。

本文参加【科学V计划】，内容为作者原创。