从导数和极限的定义出发，我来证明你本科微积分学的一阶导数规律。

如果你想从零开始做一个苹果派，你必须先发明宇宙——卡尔萨根。

大部分同学看到的是微积分中的幂律，通常没有证明或者只是部分证明。事实是，学生将从完整的证明中学到更多。就算你觉得这些教材给出的证明已经足够了，多一个证明也无妨。在这个证明中，我不仅要证明幂律，还要证明：

证明乘积法则介绍归纳法的证明链法则，介绍一点实分析。在这个证明中，我将只使用下面的& quot工具& quot：

极限的定义导数的定义你在标准代数课程中学到的任何东西，包括指数定律，各种代数结构(整数，有理数，实数)的性质，这些限制都会让我无法使用。

对数的求导，指数函数的求导或者二项式定理，我见过的大部分证明都至少用过其中一个。

证明使用的要素

我的证书将具有以下结构：

证明乘积法则证明n是整数，用乘积法则和一些归纳法证明链式法则，用链式法则证明n是有理数，证明n是无理数，从而证明所有实数

证明的结构

的幂律。我们知道x 4=xx 3。如果知道如何求x和x 3的导数，以及两个函数乘积的导数，就可以求出x的导数，为此我们将证明乘积定律。

我们应该从导数的定义来证明乘积定律。首先定义一个函数z(x)=f(x)g(x)。然后，z关于x的导数，既然说的是任意函数，就必须用导数的定义。

可能没有什么能让你眼前一亮。在这种情况下，我们需要找到一些方法来重写不同形式的表达式。既然表达式中有一个f(x h)和一个g(x h)，我们就要尽量把f(x h)-f(x)或者g(x h)-g(x)带入表达式。所以我们可以用导数来代替它们。在这种情况下，我们可以用一个经典的技术，比如即添加一个0.我们可以把f(x h)-f(x h)加到分子上，这样就不会有变化。我们想把(f(x h)g(x)-f(x h)g(x))加到分子上，那么我们可以做代数：

为了使证明更容易，我将分别处理每个极限，然后将它们放回一起。第一个限制是：

第二个限制是：

因此，我们证明了乘积法则，如下图所示：

积法则（TheProductRule）

有三种情况：

N=0n0n0如果我们证明了每一种情况，我们就完成了这一部分。

证明n=0的情况

这就完成了证明。

证明n0的情况

如果我们用导数的极限定义来推导x，x，x.你可能会看到这些导数遵循一个简单的定律：幂法则.证明n=0和n=1是非常简单的，所以我们可能要尝试用归纳法来证明。

归纳法的证明

要用归纳法证明某件事，你需要：

证明一个基本情况(一个例子)并证明每个情况都能证明下一个情况(弱归纳)或者证明所有被证明的情况都能证明下一个情况(强归纳)。强归纳和弱归纳是等价的，但我无法在本文中讨论这些细节。对于这个证明，我们应该使用弱归纳法。给你看完这个证明，我会尽量给你一个直观的感受，为什么可行。在这个过程中，我会稍微打破传统。通常，弱归纳证明指的是步骤2中的情况n和n ^ 1，但我会使用n-1和n，用n ^ 1替换n会将表达式转换回传统形式。

基本情况

这一节会很快，因为它只是代数。

归纳步骤

在这部分的证明中，我们将证明如果幂律在n=m-1的情况下成立，那么m的情况也成立。这部分我选择用m代替n，因为我已经用n来表示x的幂，如果n=m-1时幂律不成立，那么n=m是否成立就无关紧要了，所以我们会假设n=m-1时幂律成立。

归纳法的直观解释

如果你不相信这个证明有效，请选择任意自然数(这个证明对你选择的任意数都有效)，但是我给你看n=3的情况，你应该看到大致的模式。首先，我已经证明了n=1。现在我给大家展示归纳步骤中n=3的具体情况的证明：

如果你不相信n=2的情况，那么我们可以在归纳步骤中复用n=2的具体情况的证明：

我只对n=1使用幂律，所以你要相信幂律对n=3(以及n=2)有效。

如果你碰巧是计算机科学家或程序员，你可能会意识到这是一个递归的论点。很多情况下，归纳法和递归法可以描述一些东西，但是会朝着相反的方向发展。

证明n0的情况

现在我们可以用商法则来证明这种情况，但是乘积法则更容易记忆和使用。相反，我们将使用以下事实：

这些函数在x=0时没有导数，所以我们

不关心。我们可以取两边的导数，使用积法则，并求出导数：

在这一点上，我们已经证明了所有整数的幂法则。

证明链式法则

用来证明积法则的方法是有效的，所以让我们试试类似的方法。由于我们想要的是h→0的情况，所以我们想要c-x→0，这相当于c→x，此外，x+h=c。把这些代入导数的定义：

你可能意识到，当c接近x时，g(c)接近g(x)。如果你看过一些函数中的函数的导数的例子，你可能会注意到一个规律（试着求(x+c)^3或(x^2+c)^2的导数，然后提出(x+c)或(x²+c）)。你可能会想到，取外函数相对于内函数的导数，这看起来像：

如果你定义一个新的h=g(x)-g(c)，并注意到当c接近x时，h接近0，你可以把上面的导数重写如下：

由于g(c)只是一个数字，这个表达式是f(x)在x=g(c)处的导数。我们知道如何计算这个表达式，所以如果回到原来的导数，我们会想在底部得到g(x)-g(c)。在这种情况下，可以使用另一种经典技巧：乘以1。就像加一个0一样。我们可以选择许多等于1的表达式，但是（g（x）-g（c））/（g（x）-g（c））会让我们得到正确的答案。

最后，我们得到链式法则：

这个证明存在的问题

我们在x附近使用一个a，使g(a)=g(c)，那么我们实际上没有乘以1，而是0/0（这是没有定义的）。对于我们所做的，这个链式法则的证明仍然有效因为只有当a=c时g(a)=g(c)。如果试图在x=0处求一个类似sin(1/x)的函数的导数，你会发现一个问题，因为你永远无法在x=0周围找到一个区域，函数在这整个区域内都是有定义的。为了绕过这个限制，你可以通过解析延拓来堵住这些漏洞。在这个证明中，这对我们来说并不重要，所以我将继续往下。

证明n为有理数的情况‍

我们将使用一个类似于证明n<0的方法。例如，我们知道如果对一个数求第q次方根，然后取它的第q次幂，就会得到开始时的数字。在数学中，这个表述是这样的：

没有人会试图在一个函数不存在的地方取它的导数，所以我们只关心函数存在的地方的导数。在n为负整数的情况下，我们将遵循同样的过程。取两边的导数，使用链式法则，并求出导数：

为了得到所有的有理数的情况，再考虑n=p/q时的情况，其中p和q是整数：

这就完成了这一部分的证明。

证明n为无理数的情况‍

引用维基百科上关于幂法则的表述：

我们要把这个值定义为接近无理数幂的有理数幂级数的极限。这一部分的证明可能有一些错误，因为我从未见过有人以这种方式证明它，所以如果我搞错了，请在评论中告诉我。

每个无理数都可以被表示为有理数级数的极限。那么现在，让我们来设定一些定义：

如果r=π，那么R4=3.1415。如果r=sqrt（200），那么R3=14.142。换句话说，Rk可以得到小数点后的k个数字。很容易看出，这个有理数级数的极限是r，你可以证明这一点，因为Rk和r的差值趋于零。所以，现在我们有两个极限，k→∞和h→0：

如果我们先取k的极限，结果是：

你可能认为极限的顺序并不重要（在这种情况下是不重要的），但在一般情况下，这并不能保证。如果我们能证明两个极限都是点态收敛的，并且至少有一个极限是一致收敛的，就能保证任意阶的极限都能得到相同的结果。这个事实被称为摩尔-奥斯古德定理（Moore-OsgoodTheorem）。

点态收敛

点态收敛意味着：

无论在域中选取什么x，函数、都会收敛到x处的函数值。

我们已经证明了h极限是点态收敛的，因为它要么是x的导数的有理数次幂（我们在本文中已经证明它是收敛的），要么是x导数的无理数次幂，导数将是连续的。另一个极限也是点态收敛的，因为x^r和x^Rk之间的差值随着k的增加而趋于零。

一致收敛（均匀收敛）

一致收敛比点态收敛更有力。

对于域中的所有x和一个任意的ϵ>0，必须选择一些自然数N，使得对于N之后的任何k，fk(x)和f(x)之间的差异都小于ϵ。

例如，假设领域是（4，5），r=sqrt（2），以及ϵ=0.0001。对于k>4，fk(x)和f(x)之间的差值小于0.0001，所以N=4。我不想把一致收敛性的整个证明讲一遍，但我可以给出一般的概述：

只关注x^r，因为在同一域上一致收敛的两个函数的和或差也会在同一域上收敛。首先，选择你要取导数的x。我们把它叫做c。选择一个小的h，使0不在（c-2h，c+2h）内。在0处，极限可能不存在无理数，所以我们并不关心。让域是（c-2h,c+2h）。由于x^r对于所有有限的r来说在有限域上是有限的，所以x^r和x^Rk之间的差值，对于域中的每一点也是有限的。既然每一点的差值都是有限的，那么这个差值一定有一个最小的上界。由于这个差值在每一点上都趋于零，所以最小上限也必须减少到零。既然最小上限为零，那么在某一点上它一定小于你选择的任何ε。因此，我们已经证明x^Rk在相关区域内均匀地收敛于x^r。因为fk是x^Rk在定义域内两点之差除以一个非零常数，所以k的极限也是一致收敛的。

所有无理数

现在，如果我们使用摩尔-奥斯古德定理，我们就完成了证明：

Q.E.D.

摩尔-奥斯古德定理

一方面，引用一个没有证明的定理违背了标题中的"从0开始"。另一方面，这篇文章是为高中到大学的学生准备的，而实际分析可能会变得相当繁琐。下面是以前的文章和接下来的计划：

《极限——大学数学的基础和核心，你真的理解了吗？》这篇文章从形式上确定了什么是极限。接下来我将专门写一篇关于“点态收敛与一致收敛”的文章。以及一篇关于“改变微积分的极限”的文章，其中会证明摩尔-奥斯古德定理。敬请关注“老胡说科学”。

结论‍

如果我们允许自己使用e^x和lnx的导数，我们可以使用证明：

如果我们愿意，我们可以根据e^x、lnx的定义和链式法则计算这些导数。无论哪种方式，最终都会从头证明幂法则。